MATERI HIMPUNAN
A. Dasar-dasar
Himpunan
1. Pengertian Himpunan
Himpunan diperkenalkan oleh
George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan
bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa
benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan
tidak harus mempunyai kesamaan sifat/karakter.
Kumpulan dari sebatang
pensil, sebuah kursi dan setangkai bunga membentuk sebuah himpunan. Ketiga
benda tersebut berupa benda kongkret, namun tidak memiliki kesamaan sifat.
Benda-benda dalam suatu himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well
defined, artinya dapat dibedakan apakah suatu benda termasuk ataupun tidak
dalam himpunan tersebut. Sebagai contoh, kumpulan semua bilangan genap
membentuk sebuah himpunan, sebab syarat keanggotaannya terdefinisi dengan
jelas.
Kumpulan orang-orang
yang pandai tidak merupakan himpunan sebab sifat “pandai” tidak dapat
didefinisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat ditentukan secara pasti
apakah seseorang guru matematika termasuk dalam himpunan tersebut atau
tidak.Kumpulan bunga yang harum juga bukan merupakan himpunan sebab penentuan
harum tidaknya suatu bunga bersifat subjektif, maksudnya bunga yang
dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu dianggap harum bagi orang lain.
Kumpulan lain bukan merupakan himpunan, misalnya
a. Kumpulan makanan
enak,
b. Kumpulan wanita
cantik, dan
c. Kumpulan lukisan
indah.
Nama suatu himpunan biasanya menggunakan
huruf kapital seperti A, B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan
dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan semua
huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk dalam himpunan H
adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan
disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk menyatakan anggota
suatu himpunan adalah “Δ sedangkan notasi untuk bukan anggota adalah “Ï”.
Dengan demikian a Î H, iÎH, u Î H, e Î H, dan o Î H
sedangkan b Ï H, c Ï H dan d Ï H. Istilah
anggota yang digunakan di atas dapat diganti dengan istilah elemen atau unsur.
Dalam menyatakan suatu
himpunan ada tiga cara, yakni dengan kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan
notasi pembentuk himpunan. Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan
anggota-anggotanya di dalam tanda tabulasi { } dimana antar anggota
dibatasi dengan tanda koma. Sebagai contoh himpunan H = { a, i, u, e, o }
menyatakan himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin.
Himpunan X yang
anggota-anggotanya memenuhi sifat P dinotasikan sebagai
X = { x | x bersifat
P }.
Notasi ini disebut
notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah H = { x | xadalah
satu dari lima huruf hidup dalam alfabet Latin}. Tanda garis
tegak “|” dapat diganti dengan tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “
: “ atau tanda titik-koma “ ; “. Dalam buku matematika SMP tanda yang digunakan
adalah tanda tegak “ | ”.
Untuk memperjelas
tentang berbagai cara menyatakan himpunan, perhatikan tiga contoh berikut yang
menyatakan himpunan yang sama.
a. Himpunan semua
bilangan genap positif.
b. { 2, 4, 6, 8, …
}
c. { x | x =
2 n , n adalah bilangan asli}.
Masing-masing cara dalam
menyatakan himpunan mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing. Misalnya
kelebihan cara mendaftar adalah apabila digunakan untuk himpunan yang sedikit
anggotanya sedangkan kelemahannya adalah apabila digunakan untuk menulis
himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak mungkin didaftar
semuanya. Sebagai contoh himpunan semua Warga Negara Indonesiatidak
efisien bila ditulis dengan cara mendaftar.
Jenis himpunan dapat
dibedakan berdasarkan banyaknya anggota himpunan tersebut. Himpunan dikatakan
berhingga apabila mempunyai m anggota berbeda, dimanam suatu bilangan
cacah. Selain itu disebut himpunan tak berhingga. Himpunan semua huruf
dalam alfabet Latin, himpunan bilangan prima yang genap, dan himpunan semua
bilangan asli kurang dari 1.000.000 adalah tiga contoh himpunan berhingga.
Sedangkan himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan real termasuk himpunan
tak berhingga.Notasi n(H) digunakan untuk menyatakan bilangan kardinal himpunan
H. Notasi tersebut adakalanya ditulis |H|. Jadi apabila H = {a, i, u, e,o}
maka n(H) = 5, dan bila K = { 0 } maka n(K) = 1.
Misalkan himpunan I = { x | x Î [0,
1] } dan A adalah himpunan semua bilangan asli. Keduanya merupakan himpunan tak
berhingga. Dalam hal ini n(I) = ¥ dan juga n(A) = ¥.
Himpunan A merupakan himpunan terhitung (countable) karena kita dapat
mengurutkan satu persatu anggota-anggotanya. Sedangkan himpunan I merupakan
himpunan tak terhitung (uncountable). Akibatnya penulisan lambang ¥ di
atas mempunyai kelemahan karena belum membedakan himpunan terhitung dan tak
terhitung. Seorang matematikawan, Cantor, memberikan notasi yang lebih
baik yakni n(A) = À0(dibaca aleph-nol) sedangkan n(I) = c.
Simbol À (dibaca aleph ) merupakan huruf pertama dalam alfabet
Hebrew.
Adakalanya suatu
himpunan tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan seperti ini disebut
sebagai himpunan kosong yang dinotasikan dengan { } atau simbol Æ. Tanda Æmerupakan
huruf phi dalam alfabet Yunani. Contoh-contoh himpunan kosong adalah:
a. Himpunan semua
anak Indonesia yang tingginya lebih dari 3 meter.
b. Himpunan semua
bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
c. { x | x2 +
1 = 0, x adalah bilangan bulat}
d. { x | x2 - 9
= 0, 2x - 4 = 0}
e. { x | x ¹ x }
f. H = { x | x Ï H}
0 komentar:
Posting Komentar