Senin, 22 April 2013

Lingkaran


LINGKARAN                                               

Dalam geometri Euklid,sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada  bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutupsederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.


Elemen lingaran         
·         Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :
Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
1.     Titik pusat (P)
merupakan titik tengah lingkaran, dimana 
     jarak titik tersebut dengan titik manapun
     pada lingkaran selalu tetap.
·         Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
1.     Jari-jari (R)
merupakan garis lurus yang menghubungkan
 titik pusat dengan lingkaran.
2.    Tali busur (TB)
merupakan garis lurus di dalam lingkaran 
yang memotong 
     lingkaran pada dua titi yang berbeda.
3.    Busur (B)
merupakan garis lengkung baik terbuka,
     maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
4.    Keliling lingkaran (K)
merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
5.    Diameter (D)
merupakan tali busur terbesar yang
    panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. 
    Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
6.    Apotema
merupakan garis terpendek antara tali 
    busur dan pusat lingkaran.

·         Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :

1.     Juring (J)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
2.    Tembereng (T)
merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
3.    Cakram (C)
merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
Persamaan
Suatu lingkaran memiliki persamaan
dengan   adalah jari-jari lingkaran dan   adalah koordinat pusat lingkaran.
Jika pusat lingkaran terdapat di  , maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk
dengan   adalah jari-jari lingkaran dan   adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.
Persamaan parametrik
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas lingkaran




Luas lingkaran

Luas lingkaran memiliki rumus
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
dalam koordinat polar, yaitu
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam   dan jari-jari luar  .


Penjumlahan elemen juring




Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.
Luas juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.
Luas cincin lingkaran
Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam   dan jari-jari luar  , yaitu

di mana untuk   rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

Luas potongan cincin lingkaran
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.
Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:

Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva



di mana digunakan

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda   mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.
π(Pi)
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D :



0 komentar:

Poskan Komentar